Question

已知函數(shù)f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，設(shè)t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，a）∪（a，+∞）時(shí)，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當(dāng)k=4時(shí)，若對(duì)?x₁∈（1，+∞），?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），試求實(shí)數(shù)b的取值范圍．．

Answer 1

（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h'（t）=-3t²+2kt+3
設(shè)t₁，t₂是h'（t）=0的兩根，則t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定義域內(nèi)至多有一解，
欲使h（t）在定義域內(nèi)有極值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）內(nèi)有解，
且h'（t）的值在根的左右兩側(cè)異號(hào)，
∴h'（2）＞0得k＞

9

4

綜上：當(dāng)k＞

9

4

時(shí)h（t）在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)極值，
當(dāng)k≤

9

4

時(shí)h（t）在定義域內(nèi)無(wú)極值
（Ⅱ）∵對(duì)任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≤g（x₂）等價(jià)于x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4時(shí)，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）時(shí)，h'（t）＞0，
而t∈（3，+∞）時(shí)，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，
x∈[1，2]時(shí)，g(x)max=

8-4b，b≤ 3 2 5-2b，b＞ 3 2

∴

b≤ 3 2 8-4b≥10

或

b＞ 3 2 5-2b≥10

∴b≤-

1

2