Question

19．設f'（x）是函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上的導函數(shù)，滿足$xf'（x）+2f（x）=\frac{1}{x^2}$，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． $\frac{f（e）}{e^2}＞\frac{{f（{e^2}）}}{e}$
• B． $\frac{f（2）}{9}＜\frac{f（3）}{4}$
• C． $\frac{f（2）}{e^2}＞\frac{f（e）}{4}$
• D． $\frac{f（e）}{e^2}＜\frac{f（3）}{9}$

Answer 1

分析 構(gòu)造g（x）=x²f（x），利用其單調(diào)性即可推出結(jié)果．

解答 解：f'（x）是函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上的導函數(shù)，滿足$xf'（x）+2f（x）=\frac{1}{x^2}$，
可得${x}^{2}f′（x）+2xf（x）=\frac{1}{x}$，
令g（x）=x²f（x），則g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．
∴g（2）=4f（2）＜g（e）=e²f（e）＜g（3）=9f（3），
∴$\frac{f（2）}{9}＜\frac{f（3）}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)與導數(shù)的應用，正確構(gòu)造g（x）=x²f（x）和熟練掌握利用導數(shù)研究和的單調(diào)性是解題的關鍵．