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如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點．

(1)求證：DE＝DA；

(2)求證：平面BDM⊥平面ECA；

(3)求證：平面DEA⊥平面ECA.

(1)取EC的中點F，連結DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD∥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.

(2)取AC的中點N，連結MN、BN，則MN綊CF.

∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.

又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.

(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，

∴DM⊥平面ECA.

又∵DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年聊城市三模）（12分）   如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點.

   （I）證明：DM∥平面ABC；

   （II）證明：CM⊥DE；

   （III）求平面ADE與平面ABC所成的二面角的大�。ㄖ豢紤]銳角情況）.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，△ABC為直角三角形，∠C=90°，若 =(0，-4)，M在軸上，且AM=，點C在軸上移動．

 

(Ⅰ)求點B的軌跡E的方程;  

(Ⅱ)過點F(0，)的直線與曲線E交于P、Q兩點，設N(0，)(<0)，與的夾角為，若≤等恒成立，求的取值范圍;

(Ⅲ)設以點N為圓心，以半徑的圓與曲線E在第一象限的交點為H，若圓在點H處的切線與曲線E在點H處的切線互相垂直，求的值．

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求證:(1)DE=DA;

(2)平面MBD⊥平面ECA;

(3)平面DEA⊥平面ECA.

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