Question

已知拋物線C的方程為：y²=4x，直線l過（-2，1）且斜率為k≥0，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線C（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)，（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=1，此時(shí)直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．k＞0時(shí)，直線l的方程為y-1=k（x+2），當(dāng)直線l與拋物線相切時(shí)，直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用△=0即可得出．
（2）k＞0時(shí)，把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用△＞且k≠0即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=1，與拋物線C的方程聯(lián)立

y=1 y2=4x

，解得(

1

4

，1)，此時(shí)直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．
k＞0時(shí)，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當(dāng)直線l與拋物線相切時(shí)，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或

1

2

．
即當(dāng)k=-1或

1

2

時(shí)，直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上可知：當(dāng)k=0，-1或

1

2

時(shí)，直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）k＞0時(shí)，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當(dāng)直線l與拋物線相交時(shí)，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．
故當(dāng)-1＜k＜

1

2

且k≠0時(shí)，直線l與拋物線相交于兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相切與相交的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的判別式與0的大小關(guān)系解決，屬于難題．