Question

已知函數(shù)f（x）=-lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；
（2）利用（1）的結論，f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉化為4-at＞對任意t∈[0，2]恒成立，通過，求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=-lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因為x∈[1，3]，
 當1＜x＜2時  f′（x）＜0；當2＜x＜3時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上單調減函數(shù)，在（2，3）上單調增函數(shù)，
∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-ln2；
 又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1時 f（x）的最大值為，
x=2時函數(shù)取得最小值為-ln2．
（2）由（1）知當x∈[1，3]時，f（x），
故對任意x∈[1，3]，f（x）＜4-at恒成立，
只要4-at＞對任意t∈[0，2]恒成立，即at恒成立
記 g（t）=at，t∈[0，2]
∴，解得a，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，）．
點評：本題考查函數(shù)與導數(shù)的關系，函數(shù)的單調性的應用，考查函數(shù)的導數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查計算能力，恒成立問題的應用，考查轉化思想，計算能力．