Question

已知命題p：?x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0．若命題p是假命題，則實數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：非p：對一切x∈[0，1]，都有k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0是真命題，構(gòu)造函數(shù)f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知f（x）在區(qū)間[0，1]沒有零點，
可以求出k的范圍；
解答：解：由已知，命題非p：對一切x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0在x∈[0，1]有解是真命題，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），則f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），在區(qū)間[0，1]沒有零點，
令2^x=t≥0，可得f（x）=kt²-2kt+6（k-5）=k（t-1）²+5k-30，其對稱軸為x=1，∴f（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)的，
要求f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），在區(qū)間[0，1]沒有零點，
∴f（0）×f（1）＞0，即5（k-6）×6（k-5）＞0，
∴k＞6或k＜5
即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，5）∪（6，+∞），
故答案為（-∞，5）∪（6，+∞）．
點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想與轉(zhuǎn)化的技巧，對知識熟練程度與知識的銜接要求較高．