已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設(shè)點A(1，
1
2
)．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（3）過原點O的直線交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值．
精英家教網(wǎng)
（1）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=
3
，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1
（2）設(shè)線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x0，y0），
由
x=
x0+1
2
y=
y0+
1
2
2
得
x0=2x-1
y0=2y-
1
2

由，點P在橢圓上，得
(2x-1)2
4
+(2y-
1
2
)2=1，
∴線段PA中點M的軌跡方程是(x-
1
2
)2+4(y-
1
4
)2=1．
（3）當直線BC垂直于x軸時，BC=2，
因此△ABC的面積S△ABC=1．
當直線BC不垂直于x軸時，說該直線方程為y=kx，代入
x2
4
+y2=1，
解得B（
2
4k2+1
，
2k
4k2+1
），C（-
2
4k2+1
，-
2k
4k2+1
），
則|BC|=4
1+k2
1+4k2
，又點A到直線BC的距離d=
|k-
1
2
|
1+k2
，
∴△ABC的面積S△ABC=
1
2
|BC|•d=
|2k-1|
1+4k2

于是S△ABC=
4k2-4k+1
4k2+1
=
1-
4k
4k2+1

由
4k
4k2+1
≥-1，得S△ABC≤
2
，其中，當k=-
1
2
時，等號成立．
∴S△ABC的最大值是
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動點M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　�。�
A、-1B、0C、3D、4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設(shè)點A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案