Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值
（Ⅱ）設(shè)△ABC的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)叫哦的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）由f（C）=0，以及第一問確定的函數(shù)解析式，求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)sinB=2sinA，得到b=2a，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=2a，c，以及cosC的值代入求出a與b的值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即-1-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）-1≤0，
∴f（x）的最小值為-1-

3

2

，最大值為0；
（Ⅱ）由f（C）=0，得f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，
即sin（2C-

π

6

）=1，
∵C∈（0，π），
∴2C-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2C-

π

6

=

π

2

，
即C=

π

3

，
由正弦定理化簡(jiǎn)sinB=2sinA，得：b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
將c=

3

，b=2a，cosC=

1

2

，
代入得：3=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=1，
則a=1，b=2a=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．