Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)任意正數(shù)x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）若x＞1時(shí)，f（x）＞0，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．你還能發(fā)現(xiàn)f（x）的其他性質(zhì)嗎？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)任意正數(shù)x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=0（x＞0）就是這樣的函數(shù)（也可用f（x）=log₂x）．
（Ⅱ）類比對(duì)數(shù)函數(shù)提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則＞1，
∵x＞1時(shí)，f（x）＞0，
∴f（）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•）=f（x₁）+f（）-f（x₁）=f（）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（證畢）．
f（x）還具有下列性質(zhì)：f（x）的圖象經(jīng)過（1，0）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0．
分析：（Ⅰ）結(jié)果不唯一，如f（x）=0（x＞0），f（x）=log₂x等．
（Ⅱ）可類比對(duì)數(shù)函數(shù)提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，再利用定義證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，突出考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．