Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁，能證明BD⊥平面ACC₁A₁，從而得到平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答： （1）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，
DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），D（0，0，0），

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
設(shè)平面DBA₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DA1 =x+z=0 n • DB =x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，-1)，
又平面AA₁B的法向量為

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角A-A₁B-D的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．