Question

已知整數列{a_n}滿足a₃=-1，a₇=4，前6項依次成等差數列，從第5項起依次成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出所有的正整數m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

Answer 1

分析：（1）由題意設數列前6項的公差為d，d為整數，表示出a₅，a₆，利用a₅，a₆，a₇成等比數列，求出d，推出n≤6時等差數列的通項公式，n≥5數列{a_n}的通項公式；
（2）驗證正整數m=1，2，3，4，時，等式a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2是否成立，m≥5時，驗證等式的左邊的值與右側的值是否相同即可，得到結論．

解答：解（1）設數列前6項的公差為d，d為整數，則a₅=-1+2d，a₆=-1+3d，d為整數，
又a₅，a₆，a₇成等比數列，
所以（3d-1）²=4（2d-1），解得d=1，-------4分
當n≤4時，a_n=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，數列第5項起構成以2為公比的等比數列．
當n≥5時，a_n=2^n-5，
故通項公式為an=

n-4  ，    n≤4 2n-5，     n≥5

，-------------------------------------8分
（2）由（1）知數列{a_n}為：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
當m=1時等式成立，即-3-2-1=-6=（-3）（-2）（-1）；等式成立．
當m=3時等式成立，即-1+0+1=0；等式成立．
當m=2、4時等式不成立；--------------------------------------------------12分
當m≥5時，即a_m+a_m+1+a_m+2=2^m-5（2³-1），a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12．
所以a_m+a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2．；
故所求的m=1，或m=3------------------------------------------------------15分

點評：本題考查等比數列的判斷，通項公式的求法，考查數列的函數的特征，注意數列的前提條件的應用，注意驗證法在解題中的應用，注意分類討論的思想．