Question

 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP＋k_OA＝k_PA.

(1) 求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2) 若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且＝λ，直線OP與QA交于點(diǎn)M，問：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA＝2S_△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1) 設(shè)點(diǎn)P(x，y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由k_OP＋k_OA＝k_PA得，

整理得軌跡C的方程為y＝x²(x≠0且x≠－1)．

(2) 設(shè)P(x₁，x)，Q(x₂，x)，M(x₀，y₀)，

由可知直線PQ∥OA，則k_PQ＝k_OA，

故，即x₂＋x₁＝－1，

由O、M、P三點(diǎn)共線可知，

         ＝(x₀，y₀)與＝(x₁，x)共線，

∴ x₀x－x₁y₀＝0，

由(1)知x₁≠0，故y₀＝x₀x₁，

同理，由＝(x₀＋1，y₀－1)與＝(x₂＋1，x－1)共線可知(x₀＋1)(x－1)－(x₂＋1)(y₀－1)＝0，

即(x₂＋1)[(x₀＋1)·(x₂－1)－(y₀－1)]＝0，

由(1)知x₂≠－1，故(x₀＋1)(x₂－1)－(y₀－1)＝0，

將y₀＝x₀x₁，x₂＝－1－x₁代入上式得(x₀＋1)(－2－x₁)－(x₀x₁－1)＝0，

整理得－2x₀(x₁＋1)＝x₁＋1，

由x₁≠－1得x₀＝－，

由S_△PQA＝2S_△PAM，得到QA＝2AM，

∵ PQ∥OA，

∴ OP＝2OM，

∴

∴ x₁＝1，

∴ P的坐標(biāo)為(1，1)．