如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAC與底面ABC垂直,E,O分別是SC、AC的中點,SA=SC=
2
,BC=
1
2
AC,∠ASC=∠ACB=90°.
(1)求證:OE∥平面SAB;
(2)若點F在線段BC上,問:無論F在BC的何處,是否都有OE⊥SF?請證明你的結(jié)論;
(3)求二面角B-AS-C的平面角的余弦值.
分析:(1)根據(jù)E,O分別是SC、AC的中點,結(jié)合三角形中位線定理,及線面平行的判定定理,可得OE∥平面SAB;
(2)由平面SAC⊥平面ABC,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面ASC,可得BC⊥OE結(jié)合OE⊥SC及線面垂直的判定定理可得:OE⊥平面BSC,再由線面垂直的性質(zhì)可得無論F在BC的何處,都有OE⊥SF
(3)由(2)中BC⊥平面ASC,可得AS⊥平面BCS,進而AS⊥SB,即∠BSC是二面角B-AS-C的平面角,解Rt△BCS可得二面角B-AS-C的平面角的余弦值.
解答:證明:(1)∵E,O分別是SC,AC的中點
∴OE∥SA
又∵OE?平面SAB,SA?平面SAB,
∴OE∥平面SAB                  …(3分)
(2)在△SAB中,
∵OE∥AS,∠ASC=90°
∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC,∠BCA=90°
∴BC⊥平面ASC,OE?平面ASC
∴BC⊥OE
∴OE⊥平面BSC
∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF
所以無論F在BC的何處,都有OE⊥SF         …(8分)
解:(3)由(2)BC⊥平面ASC
∴BC⊥AS
又∵∠ASC=90°
∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS
∴AS⊥SB
∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中,cos∠BSC=
6
3

所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值為
6
3
       …(14分)
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì),其中(1)(2)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面垂直的判定定理,性質(zhì)定理及幾何特征;(3)的關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角.
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2
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