Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x，
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由2^x-1≠0解得義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x=f（x），故該函數(shù)為偶函數(shù)． 
（2）任取x∈{x|x≠0}，當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞2⁰=1且x＞0，故

1

2x-1

+

1

2

＞0，從而f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x ＞0．當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，故f（-x）＞0，由函數(shù)為偶函數(shù)，能證明f（x）＞0在定義域上恒成立．

解答：解：（1）該函數(shù)為偶函數(shù)．
由2^x-1≠0解得x≠0即義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱…（2分）
f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）=-（

2x

1-2x

+

1

2

）x
=（

2x

2x-1

-

1

2

）x=（

2x-1+1

2x-1

-

1

2

）x=（

1

2x-1

+

1

2

）x=f（x）（6分）
故該函數(shù)為偶函數(shù)．   …（7分）
（2）證明：任取x∈{x|x≠0}
當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞2⁰=1且x＞0，
∴2^x-1＞0，
故

1

2x-1

+

1

2

＞0
從而f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x ＞0…（11分）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）＞0，…（12分）
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）＞0，…（13分）
∴f（x）＞0在定義域上恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明f（x）＞0．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．