Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx+1的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，求f（-1）的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域即可；利用參數(shù)表示出f（-1）的值域，設(shè)z=x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，從而得到z=x+3y的最大值即可．

解答：解：∵f（x）=x³+2bx²+cx+1，
∴f′（x）=3x²+4bx+c，
依題意知，方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₁、x₂，
且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]
等價(jià)于f′（-2）≥0，f′（-1）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，
由此得b，c滿足的約束條件為

f/(-2)=12-8b+c≥0 f/(-1)=3-4b+c≤0 f/(1)=3+4b+c≤0 f/(2)=12+8b+c≥0

，
滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，
由題設(shè)知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2b-c在y軸上的截距，
當(dāng)直線z=2b-c經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）時(shí)，z最小，
最小值為：3．
當(dāng)直線z=2b-c經(jīng)過點(diǎn)C（0，-12）時(shí)，z最大，
最大值為：12，
∴f（-1）的取值范圍是：3≤f（-1）≤12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和不等式的證明，屬于中檔題．