Question

已知

a

=(2sinx，cosx+sinx)，

b

=(cosx，cosx-sinx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，
（1）求函數(shù)的解析式及函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為 一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，，然后求出最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍，求出2x+

π

4

的范圍，利用三角函數(shù)的有界性，求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），且函數(shù)的最小正周期為π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]    
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
故：函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域?yàn)?span id="mjwzwj2" class="MathJye">[-1，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查計(jì)算能力．