Question

（2012•丹東模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，BD交AC于E． 
（I）求證：CD²=DE•DB．   
（II）若CD=2

3

O到AC的距離為1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（I）先證明△BCD∽△CED，可得

DE

CD

=

CD

DB

，從而問題得證；   
（II）OD⊥AC，設(shè)垂足為F，求出CF=

R2-1

，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半徑．

解答：（I）證明：連接OD，OC，由已知D是弧AC的中點，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴

DE

CD

=

CD

DB

∴CD²=DE•DB．   
（II）解：設(shè)⊙O的半徑為R
∵D是弧AC的中點
∴OD⊥AC，設(shè)垂足為F
在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=

R2-1

在直角△CFD中，DC²=CF²+DF²
∴(2

3

)2=(R2-1)+(R-1)2
∴R²-R-6=0
∴（R-3）（R+2）=0
∴R=3

點評：本題是選考題，考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．