Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是，直線x-y-2=0與拋物線相交于M，N兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）設O為坐標原點，證明：OM⊥ON．

Answer 1

【答案】分析：（1）y²=2px（p＞0）的準線方程為，故p=1．由此能求出拋物線方程．
（2）將x=y+2代入y²=2x，得y²-2y-4=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁y₂=-4，由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得，由此能導出OM⊥ON．
解答：解：（1）∵y²=2px（p＞0）的準線方程為，
∴p=1．
∴拋物線方程為y²=2x．
（2）證明：將x=y+2代入y²=2x，消去x，整理，得y²-2y-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵M，N的縱坐標y₁，y₂是y²-2y-4=0的兩個根，
∴y₁y₂=-4，
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得
y₁²y₂²=4x₁x₂，
∴，
∵，
∴，
∴OM⊥ON．
點評：本題考查拋物線方程的求法和直線垂直的證明，是基礎題．解題時要認真審題，注意直線和拋物線位置關系的綜合運用．