Question

已知一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球（且）和個(gè)白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出兩個(gè)球，若兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)三次摸球中（每次摸球后放回）中獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列；

（2）記三次摸球中（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為，當(dāng)取多少時(shí)，最大．

 

Answer 1

【答案】

（1）分布列見解析（2）

【解析】本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，體現(xiàn)了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值

（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，若n=3，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=5/9 ，三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回），恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）2=3p³-6p²+3p，當(dāng)p= 時(shí)，P取得最大值．得到n的值．

解：（1）當(dāng)時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率

;    ;

;;

分布列為：

（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，則三次摸球（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為：，，

，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最大值．

又,  解得．