Question

（1）求以A（-1，2），B（5，-6）為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程．
（2）求過點(diǎn)A（1，2）和B（1，10）且與直線x-2y-1=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，即為所求圓的圓心坐標(biāo)．再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑AC之長，即可得到所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）算出線段AB的垂直平分線y=6，結(jié)合題意設(shè)圓心（a，6），半徑為r，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)于a、r的式子，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出關(guān)于a、r的方程組，解之即可得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）設(shè)圓心為C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得a=

-1+5

2

=2，b=

2-6

2

=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=

(-1-2)2+(2+2)2

=5
∴圓的半徑r=|AC|=5，（5分）
因此，以線段AB為直徑的圓的方程是（x-2）²+（y+2）²=25．（7分）
（2）由題意，可得圓心在線段AB的垂直平分線y=6上，
因此設(shè)圓心為（a，6），半徑為r，
可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-6）²=r²，
代入B點(diǎn)坐標(biāo)，得（1-a）²+（10-6）²=r²，
∵直線x-2y-1=0與圓相切，∴r=

|a-13|

5

即(a-1)2+16=

(a-13)2

5

，（9分）
解之得，a=3，r=2

5

或 a=-7，r=4

5

（12分）
∴圓的方程是∴（x-3）²+（y-6）²=20或 （x+7）²+（y-6）²=80（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)并且與已知直線相切的圓，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．