Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）求下表中前n行所有數(shù)的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把所給的遞推式整理，構(gòu)造要求的數(shù)列形式，仿寫一個遞推式，用數(shù)列的后一項去減前一項，合并同類項，發(fā)現(xiàn)滿足等差中項公式，得到結(jié)論．
（2）寫出（1）中的數(shù)列通項，用疊乘的方法把其他項都約去，得到第n項和第一項，因第一項可求出結(jié)果，所以得到通項公式．
（3）根據(jù)表中構(gòu)造的新數(shù)列，由它的特點寫出第n行的各數(shù)之和，代入所求數(shù)列的通項，整理出組合數(shù)形式，用二項式定理的各項系數(shù)之間的關(guān)系，得到第n行的各數(shù)之和，于是構(gòu)造一個新數(shù)列用等比數(shù)列前n項和公式求解．
解答：解：（I）∵
=
=，
∴，
∴數(shù)列滿足等差中項公式為等差數(shù)列．

（II）由（I）得
故當(dāng)n≥2時，
即
又當(dāng)n=1時，滿足上式
所以通項公式為．

（III）∵
∴第n行各數(shù)之和
∴表中前n行所有數(shù)的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）++（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-2n
=
=2ⁿ⁺²-2n-4
點評：有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起．探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)．