Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3a（a＞0），a_n+1=

a 2 n +a2

2an

，設(shè)bn=

an-a

an+a

（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與

7

8

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)，然后根據(jù)條件可得b_n+1=

b

2 n

，兩邊同取以2為底的對數(shù)，可得數(shù)列{log₂b_n}是首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）欲比較S_n與

7

8

的大小，只需判斷S_n-

7

8

的符號，利用放縮法和等比數(shù)列求和公式可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵bn=

an-a

an+a

，a₁=3a（a＞0），
∴b1=

a1-a

a1+a

=

2a

4a

=

1

2

，bn+1=

an+1-a

an+1+a

，
∵a_n+1=

a 2 n +a2

2an

，
∴bn+1=

an+1-a

an+1+a

=

a 2 n +a2 2an -a

a 2 n +a2 2an +a

=

(an-a)2

(an+a)2

=

b

2 n

，
而b₁＞0，則b_n＞0，
∴l(xiāng)og₂b_n+1=log₂

b

2 n

即log₂b_n+1=2log₂b_n，
∴數(shù)列{log₂b_n}是首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列，則log₂b_n=-2^n-1，
∴b_n=

1

22n-1

即數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=

1

22n-1

；
（2）S_n＜

7

8

，
證明：S_n-

7

8

=（

1

2

+

1

4

+

1

24

+

1

28

+

1

216

+…）-

7

8

=（

1

24

+

1

28

+

1

216

+…）-

1

8

＜（

1

16

+

1

24

•

1

2

+

1

24

•

1

22

+…）-

1

8

=

1 16

1- 1 2

-

1

8

=0，
∴S_n＜

7

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和不等式證明中運(yùn)用放縮的方法，屬于難題．