Question

已知實數a≠0，函數f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函數f（x）有極大值32，求實數a的值；
（2）若對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數等于0求出此時x的值，因為函數有極大值32，把求得的x值代入函數解析式f（x）中求出函數值，讓函數值等于32列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根據（1）求出的導函數等于0時x的值，分a大于0和a小于0，在閉區(qū)間[-2，1]上，分區(qū)間判斷導函數的正負得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性分別得到函數f（x）的最大值，讓f（x）的最大值小于

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分別列出關于a的不等式，分別求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍，求出的a的范圍的并集即可得到所有滿足題意的a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=

2

3

時取得極大值，
∴f(

2

3

)=

32

27

a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)知：
當a＞0時，函數f（x）在[-2，

2

3

]上是增函數，在[

2

3

，1]上是減函數．
此時，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．
當a＜0時，函數f（x）在[-2，

2

3

]上是減函數，在[

2

3

，1]上是增函數．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此時，y_max=f（-2）=-32a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

18

，
∴-

1

18

＜a＜0．
故所求實數的取值范圍是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．

點評：此題考查學生會利用導數研究函數的極值，掌握函數恒成立時所滿足的條件，是一道綜合題．