Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CD=E是BP的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求證：EC//平面APD；

   （Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；

   （Ⅲ）求二面角P―AB―D的大小.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，取PA中點(diǎn)，連結(jié)EF、FD

∵E是BP的中點(diǎn)，

∴EF//AB且EF=AB

又∵DC//AB，DC=AB，

∴EF//CD且EF=CD

∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD

又∵EC平面PAD，F(xiàn)D平面PAD

∴EC//平面ADP

（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，BH，因?yàn)镻A=PD，

∴PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD

∴PH⊥平面 ABCD

∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影

∴∠PBH是PB與平面ABCD所成的角

由已知∠ABC=∠BCD=90°

∴四邊形ABCD是直角梯形

DC=CB=AB

設(shè)AB=2a，則BD=a，在△ADB中，易得∠DBA=45°

∴AD=a

PH=

又∵

∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°

∴HB=

∴在Rt△PHB中，

（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作AB的垂線交于AB于G點(diǎn)，連結(jié)PG，則HG是PG在平面ABCD內(nèi)的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P―AB―D的平面角，由AB=2a

HA=，又∠HAB=45°

∴HG=a

在Rt△PHG中，、

∴二面角P―AB―D的大小為

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）設(shè)AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）

可得∠ADB=90°

如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，

DB所在直線為y軸，過D點(diǎn)且垂直于平面

ABCD的直線與z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B=（0，0），P

平面ABCD的一個(gè)法向量為

所以，

可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為

所以PB與平面ABCD所成角的正切值為

（Ⅲ）易知設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，

則

令=1，可得

得

所以二面角P―AB―D的大小為