Question

設三棱錐D-ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求證：△ABC是銳角三角形．

Answer 1

分析：證一求出△ABC的三邊，利用余弦定理驗證即可．
證二利用三垂線定理證明△ABC是銳角三角形．

解答：解：證一：設DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．
于是p²=a²+b²，q²=b²+c²，r²=c²+a²．
由余弦定理：cos∠CAB=

a2+b2+c2+a2-(b2+c2)

2 a2+b2 • c2+a2

=

a2

a2+b2 • c2+a2

＞0
∴∠CAB為銳角．
同理，∠ABC，∠BCA也是銳角．

證二：作DE⊥BC，E為垂足，因DA垂直于平面DAC，
所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，從而BC⊥AE
及在△ABC中，A在BC邊上的垂足E介于B和C之間，
因此，∠B和∠C都是銳角，同理可證∠A也是銳角．

點評：本題考查棱錐的結構特征，三垂線定理，余弦定理等知識，是中檔題．