設(shè)平面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
3
2
).若存在實數(shù)m(m≠0)和角θ(θ∈(-
π
2
,
π
2
))
,使向量
c
=
a
+(tan2θ-3)
b
,
d
=-m
a
+
b
tanθ,且
c
d

(I)求函數(shù)m=f(θ)的關(guān)系式;  
(II)令t=tanθ,求函數(shù)m=g(t)的極值.
分析:(I)根據(jù)向量
a
、
b
的坐標(biāo)算出向量
c
、
d
的坐標(biāo),由
c
d
c
d
的數(shù)量積為0,由此建立關(guān)于m和θ的關(guān)系式,化簡整理既得函數(shù)m=f(θ)的關(guān)系式;
(II)設(shè)tanθ=t,由(I)得m是關(guān)于t的三次多項式函數(shù),求出導(dǎo)數(shù)并討論導(dǎo)數(shù)的正負,可得當(dāng)t<-1或t>1時導(dǎo)數(shù)為正數(shù),當(dāng)-1<t<1時導(dǎo)數(shù)為負數(shù),由此即可得到函數(shù)的極大值、極小值,以及相應(yīng)的θ值.
解答:解:(I)∵向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
),
∴向量
c
=(
3
+
1
2
(tan2θ-3),-1+
3
2
(tan2θ-3))=(
1
2
tan2θ+
3
-
3
2
,
3
2
tan2θ-1-
3
2
3

向量
d
=(-
3
m+
1
2
tanθ,m+
3
2
tanθ)
∵且
c
d
,
c
d
=0,即(
1
2
tan2θ+
3
-
3
2
)(-
3
m+
1
2
tanθ)+(
3
2
tan2θ-1-
3
2
3
)(m+
3
2
tanθ)=0
化簡整理,得m=
1
4
(tan3θ-3tanθ)(-
π
2
<θ<
π
2
)
,即為函數(shù)m=f(θ)的關(guān)系式.
(II)設(shè)tanθ=t,得m=g(t)=
1
4
(t3-3t),t∈R

求導(dǎo)得m=g(t)=
3
4
(t2-1)
,令g'(t)=0,得t1=-1,t2=1
當(dāng)t∈(-∞,-1),g'(t)>0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t∈(-1,1)時,g'(t)<0,g(t)為減函數(shù);
當(dāng)t∈(1,+∞)時,g'(t)>0,g(t)為增函數(shù).
所以當(dāng)t=-1,即θ=-
π
4
時,m=g(t)有極大值
1
2
;當(dāng)t=1,即θ=
π
4
時,m=g(t)有極小值-
1
2
點評:本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)形式,求參數(shù)m關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并求函數(shù)的極值,著重考查了向量數(shù)量積運算和運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)平面向量
a
=(3,5),
b
=(-2,1),則|
a
+2
b
|=
5
2
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修四2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(二)(解析版) 題型:選擇題

(08·四川)設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=(  )

A.(7,3)          B.(7,7)  

C.(1,7)          D.(1,3)

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)平面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
).若存在實數(shù)m(m≠0)和角θ(θ∈(-
π
2
,
π
2
))
,使向量
c
=
a
+(tan2θ-3)
b
,
d
=-m
a
+
b
tanθ,且
c
d

(I)求函數(shù)m=f(θ)的關(guān)系式;  
(II)令t=tanθ,求函數(shù)m=g(t)的極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)平面向量
a
=(3,5),
b
=(-2,1),則|
a
+2
b
|=______.

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