Question

15．已知定義域為R的函數(shù) f （x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f'（x）-2f （x）＞4，若 f （0）=-1，則不等式f（x）+2＞e^2x的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）??
• B． （-1，+∞）??
• C． （-∞，0）?
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）-2f（x）-4}{{e}^{2x}}$，
∵f（x）-2f′（x）-4＞0，
∴F′（x）＞0，即函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵f（0）=-1，∴F（0）=1，
∴不等式f（x）+2＞e^2x等價為不等式 $\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$＞1等價為F（x）＞F（0），
解得x＞0，
故不等式的解集為（0，+∞），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．