Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)．求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog₂x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令t=log₄x，則可將函數(shù)在x∈[2，4]時(shí)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象分析出函數(shù)的最值，即可得到函數(shù)的值域；
（2）令t=log₄x，則可將已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2t²-3t+1≥2mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，即對(duì)t∈[1，2]恒成立，求出不等號(hào)右邊式子的最小值即可得到答案．
解答：解：（1），

此時(shí)，，
當(dāng)t=時(shí)，y取最小值，
當(dāng)t=或1時(shí)，y取最大值0，
∴
（2）若f（x）≥mlog₂x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，
即2t²-3t+1≥2mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，
∴對(duì)t∈[1，2]恒成立
易知在t∈[1，2]上單調(diào)遞增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔