Question

（2013•昌平區(qū)一模）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，甲組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示．
（Ⅰ）如果甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成績(jī)一樣，求X及甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；
（Ⅱ）如果X=7，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180的概率．（注：方差s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，其中

.

x

為x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析：（I）先求出乙組同學(xué)的平均成績(jī)，再求出甲組同學(xué)的平均成績(jī)，可得X的值，利用方差公式可得甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；
（Ⅱ）確定所有的事件構(gòu)成的基本事件空間，這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180包含的基本事件的空間，即可求出概率．

解答：解：（I）乙組同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?span id="s6qey2o" class="MathJye">

87+90+90+93

4

=90，甲組同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?0，
所以

80+X+86+91+94

4

=90，所以X=90…（2分）
甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為s甲2=

(86-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(94-90)2

4

=

17

2

…（6分）
（II）設(shè)甲組成績(jī)?yōu)?6，87，91，94的同學(xué)分別為a₁，a₂，a₃，a4，乙組成績(jī)?yōu)?7，90，90，93的同學(xué)分別為b₁，b₂，b₃，b₄，則所有的事件構(gòu)成的基本事件空間為：
{（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，b₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₃，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄）}共16個(gè)基本事件．
設(shè)事件A=“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180”，則事件A包含的基本事件的空間為{（a₃，b₂），（a₃，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄）}共7個(gè)基本事件，
∴P（A）=

7

16

…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查方差的計(jì)算，考查古典概型概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．