已知橢圓的焦點坐標(biāo)為F1(1,0),F2(1,0),過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P,Q兩點,且|PQ|3.

(1)求橢圓的方程;

(2)F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M,N,則F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.

 

112最大值為π,且此時直線l的方程為x1.

【解析】(1)設(shè)橢圓方程為1(a>b>0),

由焦點坐標(biāo)可得c1.|PQ|3,可得3.

a2b21,得a2,b.故橢圓方程為1.

(2)設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2),不妨令y1>0y2<0,

設(shè)F1MN的內(nèi)切圓的半徑R

F1MN的周長為4a8,SF1MN(|MN||F1M||F1N|)R4R

因此要使F1MN內(nèi)切圓的面積最大,則R最大,此時SF1MN也最大.

SF1MNF1F2||y1y2|y1y2

由題知,直線l的斜率不為零,可設(shè)直線l的方程為xmy1,

(3m24)y26my90,

y1,y2,

SF1MNy1y2,令t,則t≥1

SF1MN.f(t)3t,則f′(t)3,

當(dāng)t≥1時,f′(t)>0,所以f(t)[1,+∞)上單調(diào)遞增,

f(t)≥f(1)4,SF1MN3,

當(dāng)t1m0時,SF1MN3,又SF1MN4R,Rmax

這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.

F1MN內(nèi)切圓面積的最大值為π,且此時直線l的方程為x1.

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)a·b|ab|

(2)f(x)a·b2λ|ab|的最小值為-,求正實數(shù)λ的值.

 

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αβ,cos ,sin =-,則cos (αβ)________.

 

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A. B. C. D.

 

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A. B. C. D.

 

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(1)求橢圓C的方程;

(2)P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的一點,λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

 

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A10 B20 C30 D40

 

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觀察下列等式

121

1222=-3

1222326

12223242=-10

……

照此規(guī)律,第n個等式可為________

 

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