Question

設函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，由于外層函數(shù)是增函數(shù)，所以內層函數(shù)t=ax²+2x在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，內層函數(shù)的對稱軸為x=-

1

a

，討論對稱軸與區(qū)間[2，4]的位置關系若a＞0則對稱軸在區(qū)間左側，成立，若a＜0，則對稱軸在區(qū)間右側，此時有4≤-

1

a

，利用二次函數(shù)的單調性進行轉化時也要考慮真數(shù)為正這一條件．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，
∴內層函數(shù)t=ax²+2x在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，內層函數(shù)的對稱軸為x=-

1

a

，
  當a＞0則對稱軸在區(qū)間左側，t=ax²+2x在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，
     又其處在真數(shù)位置上故有t=4a+4＞0，得a＞-1，故a＞0滿足題意．
 當a＜0時，當且僅當對稱軸在區(qū)間右側時，內層函數(shù)是增函數(shù)，此時有

- 1 a ≥ 4 4a+4＞0

解得a≥-

1

4

，故有-

1

4

≤a＜0
 當a=0時，數(shù)f（x）=log₂2x在[2，4]上為單調遞增函數(shù)，故a=0符合題意
 綜上a的取值范圍是[-

1

4

，+∞）

點評：考查復合函數(shù)的單調性，利用復合函數(shù)的單調性規(guī)則將單調性轉化為關于參數(shù)a的方程或不等式，解不等式求出參數(shù)的范圍．