Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在[-1，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的a∈[-3，0]，任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f′（x）的解析式，通過討論a的范圍，求出方程f′（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（Ⅱ）對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價(jià)于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，從而可得|f（x₁）-f（x₂）|_max，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
a＜-1時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
-1≤a＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2個(gè)零點(diǎn)，
a=1時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
1＜a≤3時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2個(gè)零點(diǎn)，
a＞3時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅱ）對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，
不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
等價(jià)于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
當(dāng)a≤0時(shí)，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，a），（1，+∞），減區(qū)間為（a，1）；
故f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
在[1，2]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，f（2）=4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（2）-f（1）=5-3a，
則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，
即對(duì)于任意的a∈[-3，0]，（m²-3）a-m+5≤0恒成立．
構(gòu)造g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，
只需 $\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}\right.$，解得m∈[5，+∞），
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、在閉區(qū)間上的最值求解及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．