Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0）．動(dòng)點(diǎn)P滿足||+||=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)E點(diǎn)做直線與C相交于M、N兩點(diǎn)，且=2，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義可知，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以所求點(diǎn)P的軌跡C為橢圓，再分別求出橢圓中a，b的值即可．
（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線MN的點(diǎn)斜式方程，與（1）中所求橢圓方程聯(lián)立，求出x1+x2，x1x2，再根據(jù)，
即可求出k，得到直線MN的方程．
解答：解：（1）∵+=4
由橢圓的第一定義可知點(diǎn)P的軌跡為橢圓，
且2a=4，c=1，∴a²=4，b²=3
∴所求的橢圓方程為
（2）①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x+1），
代入化簡(jiǎn)得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
則
∵，∴x₁+2x₂=-3
∴，
∴
∴
∴所求的直線MN的方程為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法求軌跡方程，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷．