函數(shù)f(x)=sin2x+
3
cos2x的最大值記為M，周期為
π
a
，則函數(shù)g（t）=t2（t-a）在區(qū)間[0，M]上的最大值為（　�。�
分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式為2sin（2x+
π
3
），由此求得最大值M，根據(jù)周期的值求出a的值，利用導(dǎo)數(shù)求
出函數(shù)g（t）=t2（t-1）在[0，2]上的最大值．
解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin2x+
3
cos2x=2（
1
2
sin2x+ 
3
2
cos2x）=2sin（2x+
π
3
），
故函數(shù)的最大值M=2，周期為
π
a
=
2π
2
，∴a=1．
故函數(shù)g（t）=t2（t-a）=t2（t-1），區(qū)間[0，M]即[0，2]．
g′（t）=3t2-2t，故當(dāng)t∈（0，
1
3
）上時，g′（t）＜0，當(dāng)t∈（
1
3
，2]上時，g′（t）＞0．
故函數(shù)在∈（0，
1
3
）上是減函數(shù)，在∈（
1
3
，2]上是增函數(shù)．
故函數(shù)的最大值為g（0）或g（2）．
再由g（0）=0，g（2）=4 可得，函數(shù)g（t）=t2（t-a）在區(qū)間[0，M]上的最大值為4，
故選D．
點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g（x）=cosωx的圖象，只要將y=f（x）的圖象（　　）
A、向左平移
π
8
個單位長度
B、向右平移
π
8
個單位長度
C、向左平移
π
4
個單位長度
D、向右平移
π
4
個單位長度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
3
)（ω＞0）的最小正周期為π，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點對稱，則m的最小值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的部分圖象如圖所示：圖象與y軸交點P(0，
3
3
2
)，與x軸正半軸的兩交點為A、C，B為圖象的最低點，則S△ABC=
π
2
π
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•許昌一模）函數(shù)f(x)=sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)的最小正周期是
π
π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
)滿足：對于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=
3
，求BC邊上的中線AM長的取值范圍．

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