Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E在線段PC上，且PA∥平面EDB．
（Ⅰ）證明：E是PC的中點
（Ⅱ）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先連接AC、AC交BD于O．連接EO可得點O是AC的中點；再結(jié)合PA∥平面EDB得到PA∥EO進而得到E是PC的中點．
（Ⅱ）作EF⊥DC交CD于F，連接BF，根據(jù)PD⊥底面ABCD可得EF⊥底面ABCD；進而得∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角，最后通過求邊長即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC、AC交BD于O．連接EO
∵底面ABCD是正方形
∴點O是AC的中點．
∵PA∥平面EDB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBD=EO
∴PA∥EO
∴E是PC的中點
（Ⅱ）解：作EF⊥DC交CD于F．連接BF，設(shè)正方形ABCD的邊長為a．
∵PD⊥底面ABCD
∴PD⊥DC
∴EF∥PD，F(xiàn)為DC的中點
∴EF⊥底面ABCD…6分，
BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，
故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，

∵
∴在Rt△EFB中：
所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為．
點評：本題主要考察線面所成的角以及線面平行的應(yīng)用．解決線面角問題的關(guān)鍵在于先找出面的垂線．