Question

已知函數(shù)f （x）=2^x，f ^-1（x）是f （x）的反函數(shù)，求f ^-1（4-x²）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：先求出f （x）=2^x的反函數(shù)f ^-1（x），得出f ^-1（4-x²）的表達(dá)式，先確定此函數(shù)的定義域，再找出的4-x²大于0時(shí)的單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而得到f ^-1（4-x²）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：∵f （x）=2^x的反函數(shù)為f ^-1（x）=log₂x，
∴f ^-1（4-x²）=log2(4-x 2)，
一方面，4-x²＞0，⇒-2＜x＜2，
另一方面，考察函數(shù)t=4-x²的單調(diào)減區(qū)間：[0，+∞），
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：
在區(qū)間[0，2）上函數(shù)值y=f ^-1（4-x²）隨自變量x的增大而減小，
故f ^-1（4-x²）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[0，2）．

點(diǎn)評：本題考查求反函數(shù)的方法、考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．