Question

【題目】已知四棱錐A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱錐A﹣BCDE的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AC中點G，連接FG、BG，∵F，G分別是AD，AC的中點
∴FG∥CD，且FG= DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等
∴EF∥BG．
EF面ABC，BG面ABC
∴EF∥面ABC
（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，
∴BG⊥面ADC．
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（Ⅲ）
方法一：連接EC，該四棱錐分為兩個三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC．
．
方法二：取BC的中點為O，連接AO，則AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO為VA﹣BCDE的高， ，∴ ．

【解析】（Ⅰ）取AC中點G，連接FG、BG，根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進而得到EF∥BG，再結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根據(jù)已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱錐四棱錐A﹣BCDE分為兩個三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC，分別求出三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC的體積，即可得到四棱錐A﹣BCDE的體積．
方法二：取BC的中點為O，連接AO，可證AO⊥平面BCDE，即AO為VA﹣BCDE的高，求出底面面積和高代入棱錐體積公式即可求出四棱錐A﹣BCDE的體積．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．