Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=n2+2n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；   
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時，可求得a₁=3；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，對a₁=3仍成立，于是可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法可求得

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），于是可求得數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=3；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
對a₁=3仍成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式：a_n=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）
=

n

6n+9

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關系的應用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題．