Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
（1）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在x∈[1，5]上的最大值；（2）若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個(gè)根為x=3，把這個(gè)根代入得到字母系數(shù)的值，求出a=5，再求出函數(shù)的極值，把極值同兩個(gè)端點(diǎn)的值進(jìn)行比較得到最值．（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，要f（x）在R上是增函數(shù)，則有3x²-2ax+3≥0在R內(nèi)恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，根據(jù)基本不等式得到結(jié)果．
解答：解：（1）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個(gè)根為x=3，從而f′（3）=0，解得a=5，所以f'（x）=3x²-10x+3=0的另一個(gè)根為，函數(shù)在（1，3）上為減函數(shù)，（3，5）上為增函數(shù)，從而可知當(dāng)x=5時(shí)，f（x）在x∈[1，5]上的最大值
是15
（2）函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)轉(zhuǎn)化為3x²-2ax+3≥0在R內(nèi)恒成立，
從而有f'（x）=3x²-10x+3=0的△≤0，解得a∈[-3，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求極值和求最值，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．