Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）在以點(diǎn)F（0，

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）為焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2^a_n
（1）求數(shù)列{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）以點(diǎn)F（0，

1

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）為焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為：x²=y，由于點(diǎn)（n，S_n）在拋物線上，可得Sn=n2，利用遞推式即可得出a_n，進(jìn)而得到b_n．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^2n-1，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）以點(diǎn)F（0，

1

4

）為焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為：x²=y，
∵點(diǎn)（n，S_n）在拋物線上，
∴Sn=n2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=2n-1．
∴bn=2an=2^2n-1．
綜上可得：a_n=2n-1．，b_n=2^2n-1（n∈N^*）．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^2n-1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，
4T_n=2×2²+3×2⁵+…+（2n-3）×2^2n-1+（2n-1）×2²ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

4(4n-1)

4-1

-2-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

(5-6n)×22n+1-10

3

，
∴T_n=

(6n-5)×22n+1+10

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．