Question

已知函數(shù)的圖象與x軸相切于點(diǎn)S(s，0)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l相切于點(diǎn)T(t，f(t))，且f(t)≠0，證明：1＜t＜e；(注：e是自然對(duì)數(shù)的底)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由，得．　1分 　　∵函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)， 　　∴，　① 　　且�、凇�2分 　　聯(lián)立①②得，．　3分 　　∴．　4分 　　(Ⅱ)． 　　∵函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， 　　∴直線的方程為：， 　　又∵在直線上，∴實(shí)數(shù)必為方程�。�③的解．　5分 　　令，則， 　　解得，得． 　　∴函數(shù)在遞減，在遞增．　7分 　　∵，且函數(shù)在遞減， 　　∴是方程在區(qū)間內(nèi)的唯一一個(gè)解， 　　又∵，∴不合題意，即．　8分 　　∵，，函數(shù)在遞增， 　　∴必有．　9分 　　(Ⅲ)∵，∴， 　　由③得，　10分 　　∵，且，∴． 　　∵，∴，　11分 　　∵，，　13分 　　∴， 　　∵在單調(diào)遞增，∴．　14分 　　本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式、直線方程和三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想． 　　題干可以更簡(jiǎn)練地表述為“已知直線是函數(shù)的一條切線”，但擔(dān)心影響試題第(Ⅰ)題的得分．第(Ⅱ)題，由切線過(guò)點(diǎn)得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間判定問(wèn)題，排除零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)是該題的一個(gè)難點(diǎn)(在(Ⅰ)的啟發(fā)下，想到是區(qū)間內(nèi)的唯一零點(diǎn)，但因而排除)．第(Ⅲ)題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是的關(guān)于t的表達(dá)式的化簡(jiǎn)，二是如何想到通過(guò)探討的值來(lái)實(shí)現(xiàn)與t取值范圍的溝通．試題三問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，前問(wèn)為后問(wèn)提供服務(wù)．第(Ⅲ)題還可以用分析法表達(dá)解題的過(guò)程． 　　創(chuàng)新點(diǎn)：1、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、直線(傾斜角、斜率、方程)、三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)的交匯．2、充分體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性作用． 　　爭(zhēng)議點(diǎn)：對(duì)零點(diǎn)的考查要求可能會(huì)引發(fā)一些爭(zhēng)議，對(duì)分析法的運(yùn)用也可能會(huì)引發(fā)一些爭(zhēng)議．但“有些了解性的知識(shí)或方法，可以甚至是必要在解答題中進(jìn)行考查”正是命題者想要表達(dá)的一種觀點(diǎn)