Question

若不等式

x

+

y

≤k

2x+y

對于任意正實數(shù)x、y成立，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：將不等式

x

+

y

≤k

2x+y

轉(zhuǎn)化為k²≥

x+y+2 xy

2x+y

．只要求得

x+y+2 xy

2x+y

最大值即可．

解答：解：顯然k＞0，故k²≥

x+y+2 xy

2x+y

．
令t=

x y

＞0，則k²≥

y(t2+2t+1)

y(2t2+1)

=

1

2

(1+

4t+1

2t2+1

)
令u=4t+1＞1，則t=

u-1

4

．

4t+1

2t2+1

可轉(zhuǎn)化為：s（u）=

8u

u2-2u+9

=

8

u+ 9 u -2

≤2，
于是，

1

2

(1+

4t+1

2t2+1

)≤

1

2

（1+2）=

3

2

．
∴k²≥

3

2

，即k≥

6

2

時，不等式恒成立（當(dāng)x=4y＞0時等號成立）．
故答案為：[

6

2

，+∞)

點評：本題考查將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，求最值時一般是轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決，或用基本不等式，或用導(dǎo)數(shù)求解．