Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-

a

2

x²（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，是否存在實(shí)數(shù)a，使得

lnx2-lnx1

x2-x1

=g′（a）成立，若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得即g′（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)h（x）=lnx-ax，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間得到最大值，令最大值大于0，解得a的范圍0＜a＜

1

e

，即可判斷不存在實(shí)數(shù)a．

解答： 解：（1）若a=2，則f（x）=xlnx-x²，導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+lnx-2x，
又f（1）=-1，f′（1）=-1，
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=-（x-1），
即為y=-x；
（2）g′（x）=f′（x）-1=lnx-ax，g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，
即g′（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根．
設(shè)h（x）=lnx-ax，h′（x）=

1

x

-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，g（x）=0不可能有兩個(gè)實(shí)根；
當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜

1

a

，h′（x）＞0，h（x）遞增，
若x＞

1

a

，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則h（

1

a

）取得極大值，也為最大值，且為-1-lna＞0，
即有0＜a＜

1

e

，g′（a）=lna-a²＜0，
不妨設(shè)x₂＞x₁＞0，g′（x₁）=g′（x₂）=0，lnx₁-ax₁=lnx₂-ax₂=0，
lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
即

lnx1-lnx2

x1-x2

=a＞0，
故不存在實(shí)數(shù)a，使得

lnx2-lnx1

x2-x1

=g′（a）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．