Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-

a

2

x²（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個極值點x₁、x₂，是否存在實數(shù)a，使得

lnx2-lnx1

x2-x1

=g′（a）成立，若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導數(shù)，由題意可得即g′（x）=0有兩個不同的實根．設h（x）=lnx-ax，求出導數(shù)，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，求得單調(diào)區(qū)間得到最大值，令最大值大于0，解得a的范圍0＜a＜

1

e

，即可判斷不存在實數(shù)a．

解答： 解：（1）若a=2，則f（x）=xlnx-x²，導數(shù)f′（x）=1+lnx-2x，
又f（1）=-1，f′（1）=-1，
即有曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=-（x-1），
即為y=-x；
（2）g′（x）=f′（x）-1=lnx-ax，g（x）=f（x）-x有兩個極值點x₁、x₂，
即g′（x）=0有兩個不同的實根．
設h（x）=lnx-ax，h′（x）=

1

x

-a，
當a≤0時，h′（x）＞0，h（x）遞增，g（x）=0不可能有兩個實根；
當a＞0時，若0＜x＜

1

a

，h′（x）＞0，h（x）遞增，
若x＞

1

a

，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則h（

1

a

）取得極大值，也為最大值，且為-1-lna＞0，
即有0＜a＜

1

e

，g′（a）=lna-a²＜0，
不妨設x₂＞x₁＞0，g′（x₁）=g′（x₂）=0，lnx₁-ax₁=lnx₂-ax₂=0，
lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
即

lnx1-lnx2

x1-x2

=a＞0，
故不存在實數(shù)a，使得

lnx2-lnx1

x2-x1

=g′（a）成立．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值，主要考查導數(shù)的幾何意義和構造函數(shù)運用單調(diào)性，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．