Question

已知函數(shù)
（1）若函數(shù)f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=2，求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求曲線f（x）與的交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)，知f′（x）=x²-2ax-1，由函數(shù)f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值，知x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，由|x₁-x₂|=2，能求出a=0．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設 F（x）=f（x）-g（x），則F（x）=，由F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），，-2≤x≤0，知F（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，再由F（-2）＜0，F(xiàn)（0）＞0，知曲線f（x）與，（-2≤x≤0）的交點個數(shù)是1個．
解答：解：（1）∵函數(shù)，
∴f′（x）=x²-2ax-1，
∵函數(shù)f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值，
∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，
∵|x₁-x₂|=2，
∴==2，
∴a=0．
∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）=x²-1＞0，得x＜-1，或x＞1；
由f′（x）=x²-1＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）增，在（-1，1）減，在（1，+∞）增．
（2）設 F（x）=f（x）-g（x），
∵，
，（-2≤x≤0），
∴F（x）=，
∴F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），
∵，-2≤x≤0，
∴F′（x）=x²-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0，
F（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，
∵F（-2）=--4a+＜0，
F（0）=，
∴曲線f（x）與，（-2≤x≤0）的交點個數(shù)是1個．
點評：本題考查導數(shù)在最大值和最小值問題中的應用，考查利用導數(shù)求兩個函數(shù)的交點的數(shù)，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
“”應該更正為“，（-2≤x≤0）”．