Question

一般地，我們把函數(shù)h（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀（n∈N）稱(chēng)為多項(xiàng)式函數(shù)，其中系數(shù)a₀，a₁，…，a_n∈R．
設(shè) f（x），g（x）為兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，且對(duì)所有的實(shí)數(shù)x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
（Ⅰ） 若f（x）=x²+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
①求g（x）的表達(dá)式；
②解不等式f（x）-g（x）＞5．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）無(wú)實(shí)數(shù)解，證明方程f[f（x）]=g[g（x）]也無(wú)實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件f[g（x）]=g[f（x）]直接代入求解即可．
（Ⅱ）證明無(wú)解考慮用反證法證明，假設(shè)有解，與已知條件推出矛盾．

解答：解：（Ⅰ）①∵f[g（x）]=g[f（x）]即（kx+b）²+3=k（x²+3）+b k²x²+2kbx+b²+3=kx²+3k+b
∴

k=k2 2kb=0 b2+3=3k+b

解得

k=1 b=0

∴g（x）=x
②f（x）-g（x）＞5，即x²-x+3＞5 解得 x＞2或x＜-1
（Ⅱ）反證法：F（x）=f（x）-g（x）則 F[f（x）]=f[f（x）]-g[f（x）]F[g（x）]=f[g（x）]-g[g（x）]若結(jié)論成立，則推出 F[f（x）]+F[g（x）]=0； 即F[f（x）]=-F[g（x）]說(shuō)明存在一點(diǎn)a，a介于f（x）與g（x）之間，滿(mǎn)足F（a）=0 因?yàn)閒（x）=g（x）無(wú)實(shí)數(shù)解，則F（x）=0永遠(yuǎn)不成立，推出假設(shè)不成立，
方程f（x）=g（x）無(wú)實(shí)數(shù)解，方程f[f（x）]=g[g（x）]也無(wú)實(shí)數(shù)解．證畢

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)與方程的思想聯(lián)系起來(lái)，以及用反證法證明無(wú)解是解決此題的關(guān)鍵．