Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是函數(shù)的切線斜率求出切線的斜率，據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式求出函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零求出兩根，討論兩根的大小，判斷出導(dǎo)數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，
∴
∴，f'（1）=0
切線方程為…（4分）
（Ⅱ）定義域（0，+∞）

令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1
①當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，則（0，+∞）是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
②當(dāng)a＞2時(shí)，a-1＞1，
在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上，f'（x）＞0；在（1，a-1）區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，在區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；在（a-1，1）區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）
④當(dāng)a≤1時(shí)，a-1≤0，在區(qū)間（0，1）上f'（x）＜0，在區(qū)間（1，+∞）上，f'（x）＞0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
總之，當(dāng)a=2時(shí)，（0，+∞）是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
②當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）
④當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)切線的斜率的求法：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是函數(shù)的切線斜率；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系：正增負(fù)減；考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．