Question

設函數(shù)f(x)=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，若f(x1)＞f(x2)，則下列不等式一定成立的是（　�。�

A．x₁+x₂＞0

B．x₁²＞x₂²

C．x₁＞x₂

D．x₁²＜x₂²

Answer 1

分析：由f（-x）=-x•sin（-x）=f（x）⇒f（x）=xsinx為偶函數(shù)，f′（x）=sinx+xcosx，當x∈[0，

π

2

]⇒f′（x）＞0⇒f（x）單調遞增，
⇒x∈[-

π

2

，0]時，f（x）單調遞減；于是f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，問題解決了．

解答：解：∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數(shù)f（x）=xsinx為偶函數(shù)，又f′（x）=sinx+xcosx，
∴x∈[0，

π

2

]時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，x∈[-

π

2

，0]時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減；
∴f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，
故選B．

點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷與證明，難點在于“f（x）=xsinx在x∈[0，

π

2

]時f（x）單調遞增”的證明（導數(shù)法）及偶函數(shù)性質的綜合應用（f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|），屬于難題．