設函數(shù)f(x)=xsinx,x∈[-
π
2
,
π
2
],若f(x1)>f(x2)
,則下列不等式一定成立的是( 。
分析:由f(-x)=-x•sin(-x)=f(x)⇒f(x)=xsinx為偶函數(shù),f′(x)=sinx+xcosx,當x∈[0,
π
2
]⇒f′(x)>0⇒f(x)單調遞增,
x∈[-
π
2
,0]
時,f(x)單調遞減;于是f(x1)>f(x2)?|x1|>|x2|?x12>x22,問題解決了.
解答:解:∵f(-x)=-x•sin(-x)=xsinx=f(x),
∴函數(shù)f(x)=xsinx為偶函數(shù),又f′(x)=sinx+xcosx,
x∈[0,
π
2
]
時,f′(x)≥0,f(x)單調遞增,x∈[-
π
2
,0]
時,f′(x)≤0,f(x)單調遞減;
∴f(x1)>f(x2)?f(|x1|)>f(|x2|)?|x1|>|x2|?x12>x22,
故選B.
點評:本題考查函數(shù)單調性的判斷與證明,難點在于“f(x)=xsinx在x∈[0,
π
2
]時f(x)單調遞增”的證明(導數(shù)法)及偶函數(shù)性質的綜合應用(f(x1)>f(x2)?|x1|>|x2|),屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

借助計算機(器)作某些分段函數(shù)圖象時,分段函數(shù)的表示有時可以利用函數(shù)S(x)=
1,x≥0
0,x<0.
例如要表示分段函數(shù)g(x)=
x,x>2
0,x=2
-x,x<2.
可以將g(x)表示為g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).
設f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+(x2-1)S(1-x).
(Ⅰ)請把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
(Ⅱ)設F(x)=f(x-k),且F(x)為奇函數(shù),寫出滿足條件的k值;(不需證明)
(Ⅲ)設h(x)=(x2-x+a-a2)S(x-a)+(x2+x-a-a2)S(a-x),求函數(shù)h(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

借助計算機(器)作某些分段函數(shù)圖象時,分段函數(shù)的表示有時可以利用函數(shù)數(shù)學公式例如要表示分段函數(shù)數(shù)學公式可以將g(x)表示為g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).
設f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+(x2-1)S(1-x).
(Ⅰ)請把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
(Ⅱ)設F(x)=f(x-k),且F(x)為奇函數(shù),寫出滿足條件的k值;(不需證明)
(Ⅲ)設h(x)=(x2-x+a-a2)S(x-a)+(x2+x-a-a2)S(a-x),求函數(shù)h(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學高一(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

借助計算機(器)作某些分段函數(shù)圖象時,分段函數(shù)的表示有時可以利用函數(shù)例如要表示分段函數(shù)可以將g(x)表示為g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).
設f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+(x2-1)S(1-x).
(Ⅰ)請把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
(Ⅱ)設F(x)=f(x-k),且F(x)為奇函數(shù),寫出滿足條件的k值;(不需證明)
(Ⅲ)設h(x)=(x2-x+a-a2)S(x-a)+(x2+x-a-a2)S(a-x),求函數(shù)h(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學高一(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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