Question

已知平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)滿足|

α

|=2，且

α

與

β

-

α

的夾角為120°，則|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由已知中中平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)滿足|

α

|=2，且

α

與  

β

-

α

的夾角為120°，我們根據向量加法的三角形法則，可得當t|

β

-

α

|=

1

2

時，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值，進而求出|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值．

解答：解：∵平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)滿足|

α

|=2，且

α

與  

β

-

α

的夾角為120°，
故當t（

β

-

α

）滿足t|

β

-

α

|=

1

2

時，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值
此時由向量加法的三角形法則可得
|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值是

3

故答案為：

3

點評：本題考查的知識點是向量的模，向量在幾何中的應用，其中根據

α

與  

β

-

α

的夾角為120°，結合向量加法的三角形法則，及連接直線上的點與直線外一點的線段中，垂線段最短得到當t|

β

-

α

|=

1

2

時，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值，是解答本題的關鍵．