Question

甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用五場三勝制，即若有一隊(duì)先勝三場，則此隊(duì)為總冠軍，比賽就此結(jié)束，因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為二分之一，據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比一場增加10萬元．
（Ⅰ）求總決賽中獲得門票總收入恰好為220萬元的概率；
（Ⅱ）設(shè)總決賽中獲得的門票總收入為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望E（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得總決賽進(jìn)行了4場比賽，甲隊(duì)勝的概率為：P_甲=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，乙隊(duì)勝的概率為：P_乙=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，由此能求出總決賽中獲得門票總收入恰好為220萬元的概率．
（Ⅱ）由已知得X=150，220，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出x的分布列和數(shù)學(xué)期望E（x）．

解答： 解：（Ⅰ）∵220=40+50+60+70，
∴總決賽進(jìn)行了4場比賽，
甲隊(duì)勝的概率為：P_甲=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，
乙隊(duì)勝的概率為：P_乙=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1•

1

2

=

3

16

，
∴總決賽中獲得門票總收入恰好為220萬元的概率：
P=P_甲+P_乙=

3

16

+

3

16

=

3

8

．
（Ⅱ）由已知得X=150，220，300，
P（X=150）=2×(

1

2

)3=

1

4

，
P（X=220）=

2×C

1 3

(

1

2

)4=

3

8

，
P（X=300）=2×

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

，
∴X的分布列為：

X	150	220	300
P	1 4	3 8	3 8

EX=150×

1

4

+220×

3

8

+300×

3

8

=232.5．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．