Question

如圖，已知P是焦距為上一點，過P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點P₁，P₂，且為坐標原點．
（1）試求當取得最大值時，雙曲線C的方程；
（2）設滿足條件（1）的雙曲線C的兩個頂點為A₁，A₂，直線l過定點D（3，0），且與雙曲線交于M，N兩點（M不為頂點），求證：直線A₁M，A₂N的交點的橫坐標為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．代入，找到坐標之間的關系，再把用含三點坐標的式子表示，求范圍，根據(jù)范圍找最大值時對應的a，b，即可得到當取得最大值時，雙曲線C的方程．
（2）先設直線l的方程，M，N點坐標，把直線方程代入（1）中所求雙曲線C的方程中，求M，N的縱坐標的和與積，再利用兩點式求出A₁M，A₂M的方程，聯(lián)立，求交點，再驗證交點橫坐標是否為定值．
解答：解：（1）設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．由，得，
∵點P在雙曲線上，則
又∵P₁，P₂在漸近線上．
∴，則=
又a²+b²=c²=8，a²+b²≥2ab，．
當且僅當a=b=2時，S有最大值．所以雙曲線C的方程為：x²-y²=4．
（2）設直線l的方程為x-3=ky，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．有
∴（k²-1）y²+6ky+5=0（k²-1≠0）．
則∴
A₁M的方程為的方程為 
直線A₁M，A₂N的交點H的橫坐標x_H滿足：
化簡得：（x₄y₃+2y₃-x₃y₄+2y₄）x_H=2x₄y₃+4y₃+2x₃y₄-4y₄
即：[2（y₃+y₄）+3（y₃-y₄）]x_H=[4ky₃y₄+6（y₃+y₄）+4（y₃-y₄）]．
故A₁M，A₂N的交點H在直線．
點評：本題靈活運用了直線與雙曲線的關系，求最值，以及判斷定植．